Екі еселенген көбейтіндіге дейін толықтыру қажет болғандықтан, белгісіз және белгілі бөліктерін бір бүтін ретінде қарастырайық:

\(\displaystyle 4z^{\,2}+\,\color{red}{?}-zu+9u^{\,2}=4z^{\,2}+\color{red}{(\,?-zu\,)}+9u^{\,2}.\)

Бізге \(\displaystyle 4z^{\,2}+\color{red}{(\,?-zu\,)}+9u^{\,2}\) өрнегі

қосындының толық квадраты болып табылатыны және екі еселенген көбейтіндіні табу керектігі белгілі.

Демек, кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін

\(\displaystyle 4z^{\,2}+\color{red}{(\,?-zu\,)}+9u^{\,2}=(a+b\,)^2,\)

\(\displaystyle 4z^{\,2}+\color{red}{(\,?-zu\,)}+9u^{\,2}=a^{\,2}+\color{red}{2ab}+b^{\,2}\)

\(\displaystyle 4z^{\,2}=2^2z^{\,2}=(2z\,)^2\) және \(\displaystyle 9u^{\,2}=3^2u^{\,2}=(3u\,)^2\) екендігін ескерейік.

Бізге квадраттар белгілі:

 \(\displaystyle a^{\,2}=(2z\,)^2,\)

\(\displaystyle b^{\,2}=(3u\,)^2,\)

бірақ екі еселенген көбейтінді белгісіз:

\(\displaystyle 2ab=\color{red}{(\,?-zu\,)}.\)

Сонда \(\displaystyle a\) \(\displaystyle \color{blue}{2z}\) немесе \(\displaystyle \color{green}{-2z},\,b\) \(\displaystyle \color{blue}{3u}\) немесе \(\displaystyle \color{green}{-3u}\) болуы мүмкін. 

\(\displaystyle z\) және \(\displaystyle u\) параметрлері оң және бізге оң сандардың қосындысының квадратын алу қажет болғандықтан, онда \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) оң, яғни «+» таңбасымен аламыз:

\(\displaystyle a=\color{blue}{2z},\)

\(\displaystyle b=\color{blue}{3u}.\)

Сондықтан

\(\displaystyle 2ab=2\cdot 2z\cdot 3u,\)

\(\displaystyle 2ab=12zu.\)

Демек,

\(\displaystyle \color{red}{?-zu}=12zu,\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=12zu+zu,\)

\(\displaystyle \color{red}{?}=13zu.\)

Осылайша,

\(\displaystyle 4z^{\,2}+\,\color{red}{?}-zu+9u^{\,2}=4z^{\,2}\color{red}{+13zu}-zu+9u^{\,2}\)

және

\(\displaystyle 4z^{\,2}{\bf +\,13}\pmb{z}\pmb{u}-zu+9u^{\,2}=(2z+3u\,)^2.\)

Жауабы: \(\displaystyle 4z^{\,2}{\bf +\,13}\pmb{z}\pmb{u}-zu+9u^{\,2}=(2z+3u\,)^2.\)