Сыныпта \(\displaystyle 18\) жетінші сынып оқушылары, олардың ішінде екі егіз — Тимур мен Самат. Сынып кездейсоқ түрде әрқайсысында \(\displaystyle 9\) адамнан екі топқа бөлінеді. Тимур мен Саматтің әртүрлі топтарда болу ықтималдығын табыңыз.
Бірінші әдіс.
Самат үшін мүмкін болатын орындардың санын табайық.
Тимур тұрған топта Самат алатын \(\displaystyle 8\) орын бар. Басқа топта Самат алатын \(\displaystyle 9 \) орын бар.
Демек, нәтижелердің жалпы саны Самат алатын орындардың санына тең және \(\displaystyle 8+9=17{\small .}\)
Қолайлы нәтижелердің саны Тимур жоқ топтағы бос орындардың санына тең, яғни \(\displaystyle 9{\small .}\)
Анықтама бойынша, Тимур мен Саматтің әртүрлі топтарда болу ықтималдығы қолайлы нәтижелер санының барлық нәтижелер санына қатынасына тең:
\(\displaystyle \frac{9}{17}{\small .}\)
Жауабы:\(\displaystyle \frac{9}{17}{\small .}\)
Екінші әдіс.
Барлық ықтимал нәтижелердің саны - бұл \(\displaystyle 18{ \small }\)-ден \(\displaystyle 9\) адамнан топтасқан ықтимал топтардың жалпы саны болып табылады, яғни
\(\displaystyle C_{18}^{9}=\frac{18!}{9!(18-9)!}=\frac{18!}{9! \cdot 9!}{\small .}\)
Қолайлы нәтижелердің саны \(\displaystyle 9\) адамнан тұратын топтардың санына тең, оған Тимур кіреді, бірақ Самат кірмейді немесе Самат кіреді, бірақ Тимур кірмейді. Осындай топтардың санын табайық.
Топта бір орынды Тимур иеленсін, содан кейін тек \(\displaystyle 8\) орын бос қалады. Алайда, бұл \(\displaystyle 8\) орынды Тимурдан басқа (ол топта болғандықтан) және Саматтан басқа кез-келген жетінші сынып оқушылары ала алады (өйткені ол бұл топта болмауы керек). Осылайша, мұндай топтардың саны \(\displaystyle 16\) ( \(\displaystyle 18-2\)) ішінен \(\displaystyle 8\) -ден таңдау санына тең:
\(\displaystyle C_{16}^{8}=\frac{16!}{8!(16-8)!}=\frac{16!}{8!\cdot 8!}{\small .}\)
Сол сияқты, егер топтағы бір орынды Самат иеленсе, онда мұндай топтардың саны тең болатындығын аламыз:
\(\displaystyle C_{16}^{8}=\frac{16!}{8!(16-8)!}=\frac{16!}{8!\cdot 8!}{\small .}\)
Сонда мұндай топтардың жалпы саны тең болады
\(\displaystyle \frac{16!}{8!\cdot 8!}+\frac{16!}{8!\cdot 8!}=2\cdot\frac{16!}{8!\cdot 8!}{\small .}\)
Анықтама бойынша Тимур мен Саматтің әртүрлі топтарда болу ықтималдығы қолайлы нәтижелер санының барлық нәтижелер санына қатынасына тең:
\(\displaystyle \frac{2 \cdot 16!}{8!\cdot 8!}:\frac{18!}{9! \cdot 9!}=\frac{2 \cdot 16! \cdot 9! \cdot 9!}{8!\cdot 8! \cdot 18!}=\frac{2 \cdot 9 \cdot 9}{17 \cdot 18}=\frac{9}{17}{\small .}\)
Жауабы:\(\displaystyle \frac{9}{17}{\small .}\)