Первый способ.

Найдем число возможных мест для Самат.

В той группе, где находится Тимур, есть\(\displaystyle 10\) мест, которые может занять Самат. В другой группе есть  \(\displaystyle 11 \) мест, которые может занять Самат.

Следовательно, общие число исходов равно числу мест, которые может занять Самат, и равно \(\displaystyle 10+11=21{\small .}\)

Число благоприятных исходов равно числу свободных мест в группе, где нет Тимура, то есть равно \(\displaystyle 11{\small .}\)

По определению, вероятность того, что Тимур и Самат окажутся в разных группах, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:

\(\displaystyle \frac{11}{21}{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle \frac{10}{21}{\small .}\)

Второй способ.

Число всех возможных исходов – это общее число возможных групп по \(\displaystyle 11\) человек из \(\displaystyle 22{ \small ,}\) то есть

\(\displaystyle C_{22}^{11}=\frac{22!}{11!(22-11)!}=\frac{22!}{11! \cdot 11!}{\small .}\)

Число благоприятных исходов равно числу групп из \(\displaystyle 11\) человек, в которые будет входить Тимур, но не будет входить Самат, или будет входить Самат, но не будет входить Тимур. Найдем число таких групп.

Пусть в группе одно место занято Тимуром, тогда остаются свободными только \(\displaystyle 10\) мест. Однако, эти \(\displaystyle 10\) мест могут занять любые семиклассники, кроме Тимура (так как он уже в группе) и кроме Самата (так как он не должен быть в этой группе). Таким образом, число таких групп равно числу выборов по \(\displaystyle 10\) из \(\displaystyle 20\) ( \(\displaystyle 22-2\)):

\(\displaystyle C_{20}^{10}=\frac{20!}{10!(20-10)!}=\frac{20!}{10!\cdot 10!}{\small .}\)

Аналогично, если одно место в группе занято Саматом, получаем, что число таких групп равно

\(\displaystyle C_{20}^{10}=\frac{20!}{10!(20-10)!}=\frac{20!}{10!\cdot 10!}{\small .}\)

Тогда общее число таких групп равно

\(\displaystyle \frac{20!}{10!\cdot 10!}+\frac{20!}{10!\cdot 10!}=2\cdot\frac{20!}{10!\cdot 10!}{\small .}\)

По определению, вероятность того, что Тимур и Самат окажутся в разных группах, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов:

\(\displaystyle \frac{2 \cdot 20!}{10!\cdot 10!}:\frac{22!}{11! \cdot 11!}=\frac{2 \cdot 20! \cdot 11! \cdot 11!}{10!\cdot 10! \cdot 22!}=\frac{2 \cdot 11 \cdot 11}{21 \cdot 22}=\frac{11}{21}{\small .}\)

Ответ:\(\displaystyle \frac{11}{21}{\small .}\)