Выделим из угла в \(\displaystyle 101\pi\) радиан полные обороты.

Один полный оборот составляет \(\displaystyle 2\pi\) радиан. Значит, нужно выделить четное число \(\displaystyle \pi{\small.}\)

Так как \(\displaystyle 101\pi=100\pi+\pi\) то угол в \(\displaystyle 101\pi\) радиан получается из угла в \(\displaystyle \pi\) радиан добавлением некоторого числа полных оборотов:

Углу в \(\displaystyle \pi \) радиан соответствует точка с координатами \(\displaystyle (-1;\,0){\small .}\)

Значит, углу \(\displaystyle 101\pi \) также соответствует точка с координатами \(\displaystyle (-1;\,0){\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \cos(101\pi)=\cos(\pi)=-1{\small,}\)

\(\displaystyle \sin(101\pi)=\sin(\pi)=0{\small.}\)
 

Ответ: \(\displaystyle \sin(101\pi)=0\) и \(\displaystyle \cos(101\pi)=-1{\small.}\)