Выделим из дроби \(\displaystyle \frac{(4k+1)\pi}{2}\) целое число \(\displaystyle \pi{\small:}\)

\(\displaystyle \frac{(4k+1)\pi}{2}=\frac{4k\pi+\pi}{2}=\frac{4k\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=2k\pi+\frac{\pi}{2}{\small.}\)
 

Значит, поворот на \(\displaystyle 2\pi\cdot\color{red}{k}+\frac{\pi}{2}\) – это \(\displaystyle \color{red}{k}\) полных оборотов и еще поворот на \(\displaystyle \frac{\pi}{2}{\small.}\)

Следовательно, угол \(\displaystyle \frac{(4k+1)\pi}{2}\) получается из угла \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) добавлением \(\displaystyle \color{red}{k}\) полных оборотов:

Углу в \(\displaystyle \frac{\pi}{2} \) радиан соответствует точка с координатами \(\displaystyle (0;\,1){\small .}\)

Значит, углу \(\displaystyle \frac{(4k+1)\pi}{2}\) также соответствует точка с координатами \(\displaystyle (0;\,1){\small .}\)

Тогда

\(\displaystyle \cos\left( \frac{(4k+1)\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0{\small,}\)

\(\displaystyle \sin\left(\frac{(4k+1)\pi}{2}\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1{\small.}\)
 

Ответ: \(\displaystyle \sin\left( \frac{(4k+1)\pi}{2}\right)=1\) и \(\displaystyle \cos\left( \frac{(4k+1)\pi}{2}\right)=0{\small.}\)