Сократите дробь, если \(\displaystyle a,\, b\) – ненулевые числа :
| \(\displaystyle \frac{a^{\, 18}\cdot b^{\, 12} \cdot a^{\, 13} \cdot b^{\, 51}}{b^{\, 19}\cdot a^{\, 17}\cdot b^{\, 38}\cdot a^{\, 19 }}=\) | ||
Для того чтобы преобразовать данное выражение, сначала воспользуемся правилом произведения степеней – как в числителе, так и в знаменателе.
Произведение степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, тогда
\(\displaystyle {\bf a^n\cdot a^m= a^{n+m}}.\)
Менее формально, при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.
\(\displaystyle \frac{\color{green}{a^{\, 18}}\cdot \color{blue}{b^{\, 12}}\cdot \color{green}{a^{\, 13}}\cdot \color{blue}{b^{\,51}}} {\color{blue}{b^{\,19}}\cdot \color{green}{a^{\,17}}\cdot \color{blue}{b^{\, 38}}\cdot \color{green}{a^{\, 19}}}= \frac{\color{green}{a^{\,18+13}}\cdot \color{blue}{b^{\,12+51}}}{\color{green}{a^{\,17+19}} \cdot \color{blue}{b^{\,19+38}}}= \frac{\color{green}{a^{\,31}}\cdot \color{blue}{b^{\, 63}}} {\color{green}{a^{\, 36}}\cdot \color{blue}{b^{\,57}}}.\)
Далее применим правило частного степеней к полученной дроби.
Частное степеней
Пусть \(\displaystyle a\) – ненулевое число, \(\displaystyle n,\, m\) – натуральные числа, причем \(\displaystyle n\ge m\), тогда
\(\displaystyle {\bf \frac{a^{\,n}}{a^{\,m}}}= a^{\,n}:a^{\,m}=a^{\,n\,-\,m}.\)
Менее формально, при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются.
Упростим нашу дробь, сократив на \(\displaystyle a^{\, \small{(\textit{в наименьшей степени})}}=a^{\, 31}\) (выбирая из \(\displaystyle a^{\, 31}\) и \(\displaystyle a^{\, 36}\)) и \(\displaystyle b^{\, \small{(\textit{в наименьшей степени})}}=b^{\, 57}\) (выбирая из \(\displaystyle b^{\, 63}\) и \(\displaystyle b^{\, 57}\)). Получаем:
\(\displaystyle \frac{\color{green}{a^{\,31}}\cdot \color{blue}{b^{\, 63}}} {\color{green}{a^{\, 36}}\cdot \color{blue}{b^{\,57}}}= \frac{\left(\color{green}{a^{\,31}}\cdot \color{blue}{b^{\, 63}}\right):\color{green}{a^{\,31}}:\color{blue}{b^{\,57}} }{\left(\color{green}{a^{\, 36}}\cdot \color{blue}{b^{\,57}}\right):\color{green}{a^{\,31}}:\color{blue}{b^{\,57}}}= \frac{\color{green}{a^{\,31-31}}\cdot \color{blue}{b^{\,63-57}}}{\color{green}{a^{\, 36-31}}\cdot \color{blue}{b^{\,57-57}}}= \frac{\color{green}{a^{\,0}}\cdot \color{blue}{b^{\,6}}}{\color{green}{a^{\, 5}}\cdot \color{blue}{b^{\,0}}}= \frac{ \color{blue}{b^{\,6}}}{\color{green}{a^{\, 5}}}.\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{b^{\, 6}}{a^{\, 5}}.\)