Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle n\) и \(\displaystyle m\) упростите выражение:
| \(\displaystyle \frac{n^{\,14}\cdot m^{\,11}: n^{\,11}\cdot m^{\,17}} {m^{\,14}\cdot n^{\,6}: m^{\,9}} =\) | ||
Напомним, что числитель и знаменатель дроби всегда стоят в скобках, которые опускаются для удобства записи:
\(\displaystyle \frac{n^{\,14}\cdot m^{\,11}: n^{\,11}\cdot m^{\,17}} {m^{\,14}\cdot n^{\,6}: m^{\,9}}= \frac{\left( n^{\,14}\cdot m^{\,11}: n^{\,11}\cdot m^{\,17} \right) } {\left(m^{\,14}\cdot n^{\,6}: m^{\,9}\right)}.\)
1. Сначала упростим числитель, используя правила произведения и частного степеней:
\(\displaystyle \color{green}{n^{\, 14}}\cdot \color{blue}{m^{\, 11}}: \color{green}{n^{\, 11}}\cdot \color{blue}{m^{\,17}}= \color{green}{n^{\,14-11}}\cdot \color{blue}{m^{\,11+17}}=\color{green}{n^{\,3}}\cdot \color{blue}{m^{\, 28}}.\)
2. Теперь упростим знаменатель, используя правила произведения и частного степеней:
\(\displaystyle \color{blue}{m^{\,14}}\cdot \color{green}{n^{\,6}}: \color{blue}{m^{\, 9}}= \color{green}{n^{\,6}} \cdot \color{blue}{m^{\,14-9}}=\color{green}{n^{\, 6}}\cdot \color{blue}{m^{\,5}}. \)
Тогда наша дробь примет следующий вид:
\(\displaystyle \frac{\color{green}{n^{\, 14}}\cdot \color{blue}{m^{\, 11}}: \color{green}{n^{\, 11}}\cdot \color{blue}{m^{\,17}}} {\color{blue}{m^{\,14}}\cdot \color{green}{n^{\,6}}: \color{blue}{m^{\, 9}}}= \frac{\color{green}{n^{\,3}}\cdot \color{blue}{m^{\,28}}} {\color{green}{n^{\, 6}}\cdot \color{blue}{m^{\,5}}}.\)
3. Окончательно упростим нашу дробь, сократив на \(\displaystyle n^{\, \small{(\textit{в наименьшей степени})}}=n^{\, 3}\) (выбирая из \(\displaystyle n^{\, 3}\) и \(\displaystyle n^{\, 6}\)) и \(\displaystyle m^{\, \small{(\textit{в наименьшей степени})}}=m^{\, 5}\) (выбирая из \(\displaystyle m^{\, 28}\) и \(\displaystyle m^{\, 5}\)). Получаем:
\(\displaystyle \frac{\color{green}{n^{\,3}}\cdot \color{blue}{m^{\,28}}} {\color{green}{n^{\, 6}}\cdot \color{blue}{m^{\,5}}}= \frac{\left(\color{green}{n^{\, 3}}\cdot \color{blue}{m^{\, 28}}\right): \color{green}{n^{\, 3}}:\color{blue}{m^{\,5}}} {\left(\color{green}{n^{\,6}}\cdot \color{blue}{m^{\,5}}\right):\color{green}{n^{\,3}}:\color{blue}{m^{\, 5}}}= \frac{\color{green}{n^{\,3-3}}\cdot \color{blue}{m^{\,28-5}}} {\color{green}{n^{\, 6-3}}\cdot \color{blue}{m^{\,5-5}}}= \frac{\color{green}{n^{\,0}}\cdot \color{blue}{m^{\,23}}} {\color{green}{n^{\, 3}}\cdot \color{blue}{m^{\,0}}}= \frac{ \color{blue}{m^{\,23}}} {\color{green}{n^{\, 3}}}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{n^{\,14}\cdot m^{\,11}: n^{\,11}\cdot m^{\,17}} {m^{\,14}\cdot n^{\,6}: m^{\,9}}= \frac{ m^{\,23}} {n^{\, 3}}.\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{m^{\, 23}}{n^{\, 3}}.\)