Найдите показатели степени:
| \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle = \frac{7^{5}}{7^{8}} =\) |
|
Так как мы умеем вычитать лишь из большей степени меньшую, то, разделив и числитель, и знаменатель дроби на величину, равную числителю, получаем:
\(\displaystyle \frac{7^{5}}{7^{8}}=\frac{7^{5}:7^{5}}{7^{8}:7^{5}}=\frac{1}{7^{8}:7^{5}}=\frac{1}{7^{8\,-\,5}}=\frac{1}{7^{3}}.\)
Если же предположить, что свойство вычитания степеней является верным и при вычитании из меньшей степени большей, то мы могли бы записать:
\(\displaystyle \frac{7^{5}}{7^{8}}=7^{5\:-\:8}=7^{\,-3}.\)
В этом случае с одной стороны
\(\displaystyle \frac{7^{5}}{7^{8}}=\frac{1}{7^{3}},\)
а с другой стороны
\(\displaystyle \frac{7^{5}}{7^{8}}=7^{\,-3},\)
и тогда выполнялось бы равенство:
\(\displaystyle 7^{\,-3}=\frac{1}{7^{3}}.\)
На основе вышеизложенного введем определение для отрицательной степени числа.
Отрицательная степень числа
Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и целого числа \(\displaystyle n\) полагаем:
\(\displaystyle a^{\,-n}=\frac{1}{a^{\: n}}.\)
Так как определение отрицательной степени мы ввели так, чтобы свойство вычитания степеней выполнялось для любых натуральных чисел, то
\(\displaystyle 7^{\,5-8}=\frac{7^{5}}{7^{8}}=\frac{1}{7^{8-5}},\)
и, следовательно,
\(\displaystyle 7^{\,-3}=\frac{7^{5}}{7^{8}}=\frac{1}{7^{3}}.\)
Ответ: \(\displaystyle 7^{\,-3}=\frac{7^{5}}{7^{8}}=\frac{1}{7^{3}}.\)