Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) найдите показатель степени выражения:
| \(\displaystyle a\) | \(\displaystyle =\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\) |
|
"Мотивация определения отрицательной степени"
Так как мы умеем вычитать лишь из большей степени меньшую, то, разделив и числитель, и знаменатель дроби на величину, равную числителю, получаем:
\(\displaystyle \frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\frac{a^{\,9}:a^{\,9}}{a^{\,11}:a^{\,9}}=\frac{1}{a^{\,11}:a^{\,9}}=\frac{1}{a^{\, 11\,-\,9}}=\frac{1}{a^{\,2}}.\)
Если же предположить, что свойство вычитания степеней является верным и при вычитании из меньшей степени большей, то мы могли бы записать:
\(\displaystyle \frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=a^{\,9\:-\:11}=a^{\,-2}.\)
В этом случае с одной стороны
\(\displaystyle \frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\frac{1}{a^{\,2}},\)
а с другой стороны
\(\displaystyle \frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=a^{\,-2},\)
и тогда выполнялось бы равенство:
\(\displaystyle a^{\,-2}=\frac{1}{a^{\,2}}.\)
На основе вышеизложенного введем определение для отрицательной степени числа.
Отрицательная целая степень числа
Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и целого числа \(\displaystyle n\) полагаем:
\(\displaystyle a^{\,-n}=\frac{1}{a^{\: n}}.\)
Так как определение отрицательной степени мы ввели так, чтобы свойство вычитания степеней выполнялось для любых натуральных чисел, то
\(\displaystyle a^{\,9\,-\,11}=\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\frac{1}{a^{\,11\,-\,9}},\)
и, следовательно,
\(\displaystyle a^{\,-2}=\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\frac{1}{a^{\,2}}.\)
Ответ: \(\displaystyle a^{\,-2}=\frac{a^{\,9}}{a^{\,11}}=\frac{1}{a^{\,2}}.\)