Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) найдите показатель степени:
| \(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\frac{1}{a^{\,4}}}}= a\) |
Для того чтобы привести данную дробь к обыкновенной, мы трижды используем определение отрицательной степени.
Отрицательная степень числа
Для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) и любого целого числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle \color{blue}{\frac{1}{a^{\,n}}=a^{\,-n}}.\)
Расставим скобки в исходной дроби (которые для удобства опускаются):
\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\frac{1}{a^{\,4}}}}=\frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\Biggl(\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\left(\frac{1}{\color{blue}{a^{\,4}}}\right)}\Biggr)}.\)
Преобразуем первую скобку в соответствии с определением отрицательной степени:
\(\displaystyle \frac{1}{\color{blue}{a^{\,4}}}=\color{green}{a^{\,-4}}.\)
Подставляя в нашу дробь, получаем:
\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\Biggl(\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\left(\frac{1}{\color{blue}{a^{\,4}}}\right)}\Biggr)}=\frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\left(\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{green}{a^{\,-4}}}\right)}.\)
Преобразуем вторую скобку в соответствии с определением отрицательной степени:
\(\displaystyle \frac{1}{\color{green}{a^{\,-4}}}=a^{\,-(-4)}=\color{red}{a^{\,4}}.\)
Опять подставляя в нашу дробь, получаем:
\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\left(\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{green}{a^{\,-4}}}\right)}=\frac{1}{\color{red}{a^{\,4}}}.\)
Снова используя определение, получаем, что
\(\displaystyle \frac{1}{\color{red}{a^{\,4}}}=a^{-4}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{blue}{\frac{1}{a^{\,4}}}}}=\frac{\phantom{123}1\phantom{123}}{\frac{\phantom{12}1\phantom{12}}{\color{green}{a^{\,-4}}}}=\frac{1}{\color{red}{a^{\,4}}}=a^{-4}.\)
Ответ: \(\displaystyle a^{\,-4}.\)