Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Решение квадратного неравенства через произведение

Задание

Решите неравенство:

\(\displaystyle -7(x+10)(x-1)\le0{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Упростим данное неравенство \(\displaystyle -7(x+10)(x-1)\le 0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle -7{\small .} \)

При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:

\(\displaystyle \color{blue}{ -7}(x+10)(x-1)\le 0 \,| :\color{blue}{ -7}\)

\(\displaystyle (x+10)(x-1)\ge 0{\small .} \)


Запишем неравенство \(\displaystyle (x+10)(x-1)\ge 0 \) в виде системы эквивалентных линейных неравенств.

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b \ge 0\) в том случае, когда

  • либо \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\, b\ge 0\) – оба числа неотрицательны,
  • либо \(\displaystyle a\le 0{ \small ,}\, b\le 0\) – оба числа неположительны.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x+10)(x-1)\ge 0\) получаются, когда

  • либо \(\displaystyle x+10\ge 0{ \small ,}\, x-1\ge 0\) – оба множителя неотрицательны,
  • либо \(\displaystyle x+10\le 0{ \small ,}\, x-1\le 0\) – оба множителя неположительны.


Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+10&\ge 0{ \small ,}\\x-1 &\ge 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+10&\le 0{ \small ,}\\x-1& \le 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge -10{ \small ,}\\x&\ge 1\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -10{ \small ,}\\x& \le 1{\small .}\end{aligned}\right.\)

 

Решим получившиеся системы.

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\ge -10{ \small ,}\\ x &\ge 1 \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x\ge -10\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x\ge 1\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно больше либо равна \(\displaystyle -10\) и больше либо равна \(\displaystyle 1{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in [1;+\infty){\small .} \)


 

или

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x&\le -10{ \small ,}\\ x &\le 1{\small .} \end{aligned} \right.\)

Неравенство \(\displaystyle x\le -10\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x\le 1\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше либо равна \(\displaystyle -10\) и меньше либо равна \(\displaystyle 1{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, решения – \(\displaystyle x\in (-\infty;-10]{\small .} \)


Объединяя полученные решения, получаем ответ:

\(\displaystyle x\in [1;+\infty)\qquad\) или \(\displaystyle \qquad x\in (-\infty;-10] \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-10]\cup [1;+\infty){\small .} \)