Упростим данное неравенство \(\displaystyle 6(x-2)(x+7)<0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle 6{\small :} \)

\(\displaystyle \color{blue}{ 6}(x-2)(x+7)<0 \,| :\color{blue}{ 6}\)

\(\displaystyle (x-2)(x+7)<0{\small .} \)

Запишем неравенство \(\displaystyle (x-2)(x+7)<0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b <0\) в том случае, когда

• либо \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b<0\) – первое число положительно, второе отрицательно;
• либо \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b>0\) – первое число отрицательно, второе положительно.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x-2)(x+7)<0\) получаются, когда

• либо \(\displaystyle x-2>0{ \small ,}\, x+7<0\) – первый множитель положительный, второй отрицательный;
• либо \(\displaystyle x-2<0{ \small ,}\, x+7>0\) – первый множитель отрицательный, второй положительный.

Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&>0{ \small ,}\\x+7 &< 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-2&< 0{ \small ,}\\x+7& >0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>2{ \small ,}\\x&< -7\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 2{ \small ,}\\x& > -7{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим получившиеся системы.

Таким образом, получили:

\(\displaystyle x\in (-7;2){\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle x\in (-7;2){\small .} \)