Упростим данное неравенство \(\displaystyle 6(x+57)(x-34)\le 0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle 6{\small :} \)

\(\displaystyle \color{blue}{ 6}(x+57)(x-34)\le 0 \,| :\color{blue}{ 6}\)

\(\displaystyle (x+57)(x-34)\le 0{\small .} \)

Запишем неравенство \(\displaystyle (x+57)(x-34)\le 0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b \le 0\) в том случае, когда

• либо \(\displaystyle a\ge 0{ \small ,}\, b\le 0\) – первое число неотрицательно, второе неположительно;
• либо \(\displaystyle a\le 0{ \small ,}\, b\ge 0\) – первое число неположительно, второе неотрицательно.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x+57)(x-34)\le 0\) получаются, когда

• либо \(\displaystyle x+57\ge 0{ \small ,}\, x-34\le 0\) – первый множитель неотрицательный, второй неположительный;
• либо \(\displaystyle x+57\le 0{ \small ,}\, x-34\ge 0\) – первый множитель неположительный, второй неотрицательный.

Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+57&\ge 0{ \small ,}\\x-34 &\le 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x+57&\le 0{ \small ,}\\x-34& \ge 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\ge -57{ \small ,}\\x&\le 34\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&\le -57{ \small ,}\\x& \ge 34{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим получившиеся системы.

Таким образом, получили:

\(\displaystyle x\in [-57;34]{\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle x\in [-57;34]{\small .} \)