Упростим данное неравенство \(\displaystyle -2(x-14)(x-2)>0{ \small ,} \) разделив обе части на \(\displaystyle -2{\small .} \)

При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:

\(\displaystyle \color{blue}{ -2}(x-14)(x-2)>0 \,| :\color{blue}{ (-2)}\)

\(\displaystyle (x-14)(x-2)<0{\small .} \)

Запишем неравенство \(\displaystyle (x-14)(x-2)<0 \) в виде систем эквивалентных неравенств.

Произведение двух чисел \(\displaystyle a\cdot b <0\) в том случае, когда

• либо \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, b<0\) – первое число положительно, второе отрицательно;
• либо \(\displaystyle a<0{ \small ,}\, b>0\) – первое число отрицательно, второе положительно.

Значит, все решения неравенства \(\displaystyle (x-14)(x-2)<0\) получаются, когда

• либо \(\displaystyle x-14>0{ \small ,}\, x-2<0\) – первый множитель положительный, второй отрицательный;
• либо \(\displaystyle x-14<0{ \small ,}\, x-2>0\) – первый множитель отрицательный, второй положительный.

Если это переписать в виде систем, то получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-14&>0{ \small ,}\\x-2 &< 0\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x-14&< 0{ \small ,}\\x-2& >0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Перенося все числа вправо, получаем:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&>14{ \small ,}\\x&< 2\end{aligned}\right.\)   или   \(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 14{ \small ,}\\x& > 2{\small .}\end{aligned}\right.\)

Решим получившиеся системы.

Таким образом, получили:

\(\displaystyle x\in (2;14){\small .} \)

Ответ: \(\displaystyle x\in (2;14){\small .} \)