Упростим иррациональное выражение \(\displaystyle 6\sqrt{\frac{2}{3}}{\small . } \)

Так как \(\displaystyle 6=2\cdot 3\) и, согласно определению квадратного корня, \(\displaystyle 3=(\sqrt{3})^2{\small ,}\) то

\(\displaystyle \color{green}{6}\sqrt{\frac{2}{3}}=\color{green}{2\cdot 3}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=\color{green}{2\cdot (\sqrt{3})^2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}}{\small .}\)

Сократим дробь на \(\displaystyle \sqrt{3}{\small :}\)

Значит,

\(\displaystyle 6\sqrt{\frac{2}{3}}-5\sqrt{6}= 2\sqrt{6}- 5\sqrt{6}{\small . } \)

Приводя подобные, получаем:

\(\displaystyle 2\sqrt{6}- 5\sqrt{6}= -3\sqrt{6} {\small . } \)

Таким образом,

\(\displaystyle 6\sqrt{\frac{2}{3}}-5\sqrt{6}= -3\sqrt{6} {\small . } \)

Ответ: \(\displaystyle -3\sqrt{6} {\small . } \)