Упростим каждое слагаемое в данном выражении \(\displaystyle 5\sqrt{1\frac{4}{5}}+6\sqrt{13\frac{8}{9} }{\small . }\)

В выражении \(\displaystyle 5\sqrt{1\frac{4}{5}} \) перейдем от смешанной дроби к неправильной:

\(\displaystyle 5 \sqrt{\color{green}{ 1\frac{4}{5}}}=5\sqrt{\color{green}{ \frac{9}{5}}}{\small . } \)

Так как по определению квадратного корня \(\displaystyle 5=\left(\sqrt{ 5}\right)^2{\small , } \) то получаем:

\(\displaystyle \color{green}{5}\sqrt{\frac{9}{5}}=\color{green}{(\sqrt{5})^2}\cdot \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{5})^2 \cdot \sqrt{9}}{\sqrt{5}}= \frac{\sqrt{5} \cdot \color{red}{\cancel{\sqrt{5}}}\cdot \sqrt{9} }{\color{red}{\cancel{\sqrt{5}}}}= \frac{\sqrt{5} \cdot 3 }{1}=3\sqrt{5} {\small .}\)

Значит,

\(\displaystyle 5\sqrt{1\frac{4}{5}}= 3\sqrt{5}{\small . }\)

Теперь упростим иррациональное выражение \(\displaystyle 6\sqrt{13\frac{8}{9} }{\small . } \)

Перейдем от смешанной дроби \(\displaystyle 13\frac{8}{9} \) к неправильной:

\(\displaystyle 6\sqrt{\color{green}{ 13\frac{8}{9}} } = 6\sqrt{\color{green}{ \frac{125}{9}} } {\small . } \)

Воспользуемся формулой.

Получаем:

\(\displaystyle 6\sqrt{\frac{125}{9} }= 6\cdot \frac{\sqrt{125}}{\sqrt{9} } =\frac{6\cdot \sqrt{25\cdot 5}}{\sqrt{9}}= \frac{6\cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{9}}= \frac{6\cdot 5\cdot \sqrt{5}}{3}=10\sqrt{5} {\small .}\)

Значит,

\(\displaystyle 6\sqrt{13\frac{8}{9} }= 10\sqrt{5} {\small . } \)

Подставляя все полученное в исходное выражение, получаем:

\(\displaystyle 5\sqrt{1\frac{4}{5}}+6\sqrt{13\frac{8}{9} }= 3\sqrt{5}+10\sqrt{5}= 13\sqrt{5} {\small . }\)

Таким образом,

\(\displaystyle 5\sqrt{1\frac{4}{5}}+6\sqrt{13\frac{8}{9} }= 13\sqrt{5} {\small . } \)

Ответ: \(\displaystyle 13\sqrt{5}{\small . } \)