Вычислим дискриминант многочлена \(\displaystyle x^2-6x+9{\small .}\) Получаем:

\(\displaystyle {\rm D}=(-6)^2-4\cdot 9=0{\small .}\)

Равенство дискриминанта нулю означает, что многочлен \(\displaystyle x^2-6x+9\) является полным квадратом.

Перепишем выражение  \(\displaystyle x^2-6x+9\) в виде полного квадрата:

\(\displaystyle \color{green}{x}^2-2\cdot \color{blue}{3}\cdot \color{green}{x}+\color{blue}{ 3}^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle (\color{green}{x}-\color{blue}{3})^2{\small .}\)

Следовательно, неравенство

\(\displaystyle x^2-6x+9\le 0\)

можно переписать как

\(\displaystyle (x-3)^2\le 0{\small .}\)

Решим это неравенство.

Поскольку \(\displaystyle (x-3)^2 \) – полный квадрат, то

\(\displaystyle (x-3)^2\ge 0 \) для любого числа \(\displaystyle x{\small .}\)

Это можно переписать, что для любого числа \(\displaystyle x\) либо \(\displaystyle (x-3)^2>0{ \small ,}\) либо \(\displaystyle (x-3)^2=0{ \small .}\)

Рассмотрим каждый случай:

• те \(\displaystyle x {\small ,}\) для которых \(\displaystyle (x-3)^2>0{ \small ,}\) не являются решениями неравенства \(\displaystyle (x-3)^2\le 0{ \small ;}\)
• те \(\displaystyle x{ \small ,}\) для которых \(\displaystyle (x-3)^2=0{ \small ,}\)  являются решениями неравенства \(\displaystyle (x-3)^2\le 0{ \small .}\)

Решим уравнение \(\displaystyle (x-3)^2=0{ \small :}\)

\(\displaystyle (x-3)^2=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x-3=0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x=3{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x\in \{3\}{\small .} \)