Вычислим дискриминант многочлена \(\displaystyle x^2+4x+4{\small .}\) Получаем:

\(\displaystyle {\rm D}=4^2-4\cdot 4=0{\small .}\)

Равенство дискриминанта нулю означает, что многочлен \(\displaystyle x^2+4x+4\) является полным квадратом.

Перепишем выражение  \(\displaystyle x^2+4x+4\) в виде полного квадрата:

\(\displaystyle \color{green}{x}^2+2\cdot \color{blue}{2}\cdot \color{green}{x}+\color{blue}{ 2}^2{ \small ,}\)

\(\displaystyle (\color{green}{x}+\color{blue}{2})^2{\small .}\)

Следовательно, неравенство

\(\displaystyle x^2+4x+4> 0\)

можно переписать как

\(\displaystyle (x+2)^2> 0{\small .}\)

Решим это неравенство.

Поскольку \(\displaystyle (x+2)^2 \) – полный квадрат, то

\(\displaystyle (x+2)^2\ge 0 \) для любого числа \(\displaystyle x{\small .}\)

И поскольку нужно, чтобы \(\displaystyle (x+2)^2>0{ \small ,}\) то это означает, что не подходят те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle (x+2)^2 =0{\small .}\)

Получаем:

\(\displaystyle (x+2)^2\,\cancel{=}\,0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x+2\,\cancel{=}\,0{ \small ,}\)

\(\displaystyle x\,\cancel{=}\,-2{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;-2)\cup (-2;+\infty){\small .} \)