Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: Вычисление значения степени-2

Задание

Разложите число \(\displaystyle 4383098559^{12}\) на простые множители, если известно, что

\(\displaystyle 4383098559=3^{\,2} \cdot 7^{\,3} \cdot 17^{\,5}.\)

 

\(\displaystyle 4383098559^{12}=\)

\(\displaystyle \cdot\)

\(\displaystyle \cdot\)
Решение

Разложим число \(\displaystyle 4383098559^{\,12}\) на простые множители, используя данное в условии разложение на простые множители:

\(\displaystyle 4383098559=3^{\,2} \cdot 7^{\,3} \cdot 17^{\,5}.\)

Для этого воспользуемся правилом произведения в степени:

Правило

Произведение в степени

Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b\)  и натурального числа \(\displaystyle n\) верно

\(\displaystyle (ab\,)^n=a^{\,n} b^{\,n}.\)

\(\displaystyle 4383098559^{\,\color{red}{12}}=\left(3^{\,2} \cdot 7^{\,3} \cdot 17^{\,5}\right)^{\, \color{red}{12}}=\left(3^{\,2}\right)^{\, \color{red}{12}} \cdot \left(7^{\,3}\right)^{\, \color{red}{12}} \cdot \left(17^{\,5}\right)^{\, \color{red}{12}}.\)

 

Теперь используем правило "степень в степени":

Правило

Cтепень в степени

Для любого числа \(\displaystyle a\) и любых натуральных чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется

\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}.\)

Имеем:

\(\displaystyle \left(3^{\,2}\right)^{\, \color{red}{12}} \cdot \left(7^{\,3}\right)^{\, \color{red}{12}} \cdot \left(17^{\,5}\right)^{\, \color{red}{12}}=3^{\, 2\cdot \color{red}{12}}\cdot 7^{\,3 \cdot \color{red}{12}} \cdot 17^{\, 5\cdot \color{red}{12}}=3^{\,\bf 24}\cdot 7^{\, \bf 36 } \cdot 17^{\, \bf 60}.\)

Таким образом,

\(\displaystyle 4383098559^{\,12}=3^{\,24}\cdot 7^{\, 36 } \cdot 17^{\, 60}.\)

Ответ: \(\displaystyle 3^{\,24}\cdot 7^{\, 36 } \cdot 17^{\, 60}.\)