Разложите число \(\displaystyle 4383098559^{12}\) на простые множители, если известно, что
\(\displaystyle 4383098559=3^{\,2} \cdot 7^{\,3} \cdot 17^{\,5}.\)
| \(\displaystyle 4383098559^{12}=\) | \(\displaystyle \cdot\) | \(\displaystyle \cdot\) |
Разложим число \(\displaystyle 4383098559^{\,12}\) на простые множители, используя данное в условии разложение на простые множители:
\(\displaystyle 4383098559=3^{\,2} \cdot 7^{\,3} \cdot 17^{\,5}.\)
Для этого воспользуемся правилом произведения в степени:
Произведение в степени
Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b\) и натурального числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle (ab\,)^n=a^{\,n} b^{\,n}.\)
\(\displaystyle 4383098559^{\,\color{red}{12}}=\left(3^{\,2} \cdot 7^{\,3} \cdot 17^{\,5}\right)^{\, \color{red}{12}}=\left(3^{\,2}\right)^{\, \color{red}{12}} \cdot \left(7^{\,3}\right)^{\, \color{red}{12}} \cdot \left(17^{\,5}\right)^{\, \color{red}{12}}.\)
Теперь используем правило "степень в степени":
Cтепень в степени
Для любого числа \(\displaystyle a\) и любых натуральных чисел \(\displaystyle n,\,m\) выполняется
\(\displaystyle \left(a^{\,n}\right)^{m}=a^{\, n m}.\)
Имеем:
\(\displaystyle \left(3^{\,2}\right)^{\, \color{red}{12}} \cdot \left(7^{\,3}\right)^{\, \color{red}{12}} \cdot \left(17^{\,5}\right)^{\, \color{red}{12}}=3^{\, 2\cdot \color{red}{12}}\cdot 7^{\,3 \cdot \color{red}{12}} \cdot 17^{\, 5\cdot \color{red}{12}}=3^{\,\bf 24}\cdot 7^{\, \bf 36 } \cdot 17^{\, \bf 60}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 4383098559^{\,12}=3^{\,24}\cdot 7^{\, 36 } \cdot 17^{\, 60}.\)
Ответ: \(\displaystyle 3^{\,24}\cdot 7^{\, 36 } \cdot 17^{\, 60}.\)