Не применяя калькулятор и используя разложение \(\displaystyle 75=3\cdot 25,\) вычислите значение:
\(\displaystyle 75^{\,5}\cdot 4^{\,5}=\)
Сначала используем разложение \(\displaystyle 75=3\cdot 25\) и правило "произведение в степени".
Произведение в степени
Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b\) и натурального числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle (ab\,)^n=a^{\,n} b^{\,n}.\)
Тогда
\(\displaystyle 75^{\,5}\cdot 4^{\,5}=\left(3\cdot 25\right)^{\,5}\cdot 4^{\,5}=3^{\,5}\cdot 25^{\,5}\cdot 4^{\,5}.\)
Заметим, что \(\displaystyle 25\cdot 4=100,\) поэтому:
\(\displaystyle 3^{\,5}\cdot 25^{\,5}\cdot 4^{\,5}=3^{\,5}\cdot \left(25\cdot 4\right)^{\,5}=3^{\,5}\cdot 100^{\,5}=243\cdot 10000000000=2430000000000.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 75^{\,5}\cdot 4^{\,5}=2430000000000.\)
Ответ: \(\displaystyle 2430000000000.\)