Без использования калькулятора найдите значение числового выражения:
\(\displaystyle 0,125^{199}\cdot 8^{201}=\)
Произведение оснований степенных выражений \(\displaystyle 0,125\cdot 8=1,\) однако степени \(\displaystyle (0,125)^{\color{red}{199}}\) и \(\displaystyle 8^{\color{blue}{201}}\) различны, и поэтому сразу применить правило произведения в степени нельзя.
Произведение в степени
Для любых чисел \(\displaystyle a,\, b\) и натурального числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle (ab\,)^n=a^{\,n} b^{\,n}.\)
Преобразуем наше выражение так, чтобы данное правило можно было применить:
\(\displaystyle 0,125^{\color{red}{199}} \cdot 8^{\color{blue}{201}}=0,125^{\color{red}{199}} \cdot 8^{\color{red}{199}+\color{blue}{2}}=0,125^{\color{red}{199}} \cdot 8^{\color{red}{199}}\cdot 8^{\color{blue}{2}}.\)
Теперь применим правило "произведение в степени":
\(\displaystyle 0,125^{\color{red}{199}} \cdot 8^{\color{red}{199}}\cdot 8^{\color{blue}{2}}=\left(0,125 \cdot 8\right)^{\color{red}{199}}\cdot 8^{\color{blue}{2}}=1^{\color{red}{199}}\cdot 8^{\color{blue}{2}}=\color{red}{1}\cdot \color{blue}{64}=64.\)
Таким образом,
\(\displaystyle 0,125^{199}\cdot 8^{201}=64.\)
Ответ: \(\displaystyle 64.\)